Partie 1 – Analyse
• Pour tout a ∈ R tel que u
a et v
a existent : u ∼ v ⇒ u
a
∼ v
a
• u ∼ v ⇒ v ∼ u ; u ∼ v et v ∼ w ⇒ u ∼ w
Pour établir la première propriété, posez
u
v
= 1 + ´. Les propriétés
suivantes sont des conséquences directes de la définition.
La première propriété permet de « voir » immédiatement des équivalents :
• x − ln x ∼
+∞
x car ln x =
+∞
◦ (x) ; e
x
− x
2
∼
x→+∞
e
x car x
2
=
+∞
◦ (e x )
• Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.
Les deux propriétés suivantes signifient que les équivalences « passent »
dans les produits, les quotients, les élévations à la puissance. Mais
attention, vous ne devez pas croire que c’est le cas pour la somme,
le logarithme, l’exponentielle :
• En 0, x
2 + x
3
∼ x
2 ; − x
2
∼ x
2 + x
4 ; mais x
3
x
4 .
• En 0, 1 + x
2
∼ 1 + x, mais ln
1 + x
2
ln (1 + x), car
ln
1 + x
2
∼ x
2 , ln (1 + x) ∼ x, et, d’après la dernière propriété, si
on avait ln
1 + x
2
∼ ln (1 + x), on aurait x
2
∼ x.
• En +∞, x
2 + x ∼ x
2 , mais e
x
2 e
x ( faire le quotient).
Utilisation
u ∼
b
v
lim
b
v =
⎫
⎬
⎭
⇒ lim
b
u = ; u ∼
b
∈ R ∗ ⇒ lim
b
u =
Pour déterminer la limite d’une fonction en un point, on peut
essayer de lui trouver un équivalent plus simple, dont on cherche la
limite.
• Avec f (x) =
x
3
e x − 1
, lim
0
f = lim
+∞
f = 0.
En effet
x
3
e x − 1
∼
0
x
3
x
= x
2
−→
x→0
0, donc lim
0
f = 0 ;
x
3
e x − 1
∼
+∞
x
3
e x −→
x→+∞
0 (négligeabilité classique), donc lim
+∞
f = 0.
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