Chapitre 1 – Étude de fonctions
Négligeabilités classiques. Pour a > 0 :
lim
x→+∞
ln x
x a = 0
et donc ln x =
+∞
◦ (x a )
lim
x→+∞
e
x
x a = +∞
et donc x
a
=
+∞
◦ (e x )
lim
x→0
(x
a ln x) = 0
et donc ln x =
0
◦
1
x a
Mémorisez soigneusement ces limites, elles sont d’usage constant.
Elles n’ont pas à être justifiées, elles font partie des connaissances de
base. Au besoin, vous évoquerez les « négligeabilités classiques ».
Vous pouvez retenir aussi, pour n ∈ N : lim
x→−∞
x
n e
x
= 0.
On a aussi : lim
x→+∞
x
a
e x
= 0 . . .
1.4 Équivalence
Définition. On dit que f est équivalente à g en b, et on note f ∼
b
g,
ssi
lim
x→b
f (x)
g (x)
= 1
La définition adoptée suppose que g ne s’annule pas au voisinage de x 0 .
Cela ne pose pas de difficultés dans la pratique.
Équivalents classiques.
ln x ∼
1
x − 1 ; ln (1 + h) ∼
0
h ; e
x
− 1 ∼
0
x
Considérer ln
(1) = 1 pour montrer la première équivalence (voir
la définition de f (x 0 ) §1.3.1). Poser alors x = 1 + h pour montrer
la deuxième. La troisième équivalence se démontre en considérant
exp (0) =1.
Propriétés
• u ∼
b
v ⇔ u = v + ◦ b (v) ⇔ u = v (1 + ´) avec lim
b
´ = 0
•
u 1 ∼ v 1
u 2 ∼ v 2
⇒ u 1 u 2 ∼ v 1 v 2 ;
u 1
u 2
∼
v 1
v 2
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