Partie 1 – Analyse
Passage à la limite dans les inégalités
Si f g, lim
b
f = , lim
b
g =
, alors
Si f g h, lim
b
f = lim
b
h = , alors lim
b
g =
Si |f (x) − | g (x) et lim
b
g = 0, alors lim
b
f =
Les deux premières formules restent valables si , appartiennent à
{−∞, +∞}. En particulier :
Si f g et lim
b
f = +∞, alors lim
b
g = +∞
Si f g et lim
b
g = −∞, alors lim
b
f = −∞
Notons ce théorème d’existence :
Soit f une fonction croissante (resp. décroissante) et majorée par M
(resp. minorée par m) sur l’intervalle [a, b[, avec a < b +∞. Alors
f admet une limite finie en b, et M (resp. m).
Ce théorème est à rapprocher du théorème analogue sur les suites numériques, voir § 2.1.2. Il ne permet pas de déterminer la limite .
1.3 Négligeabilité
Dans la suite du chapitre, on parlera de propriétés vérifiées au voisinage
de b, c’est-à-dire sur un ensemble non vide du type [a, x 0 [ ∩
x 0 , a
si
b = x 0 , un intervalle (non vide) [a, +∞[ si b = +∞, ou ]−∞ ; a] si
b = −∞
Définition. On dit que f est négligeable devant g en b , et on note
f =
b
◦ (g), ssi
lim
x→b
f (x)
g (x)
= 0
La définition adoptée suppose que g ne s’annule pas au voisinage de x 0 .
Cela ne pose pas de difficultés dans la pratique.
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