Partie 1 – Analyse
Les paragraphes 1 à 5 concernent les fonctions de R dans R.
Le paragraphe 6 concerne les fonctions de deux variables ( fonctions de R
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dans R).
1. Recherche de limites
1.1 Définitions
Soit I un intervalle de R, x 0 ∈ I, f une fonction définie sur D, avec
D = I ou D = I \ {x 0 }, et un nombre réel. On pose
• lim
x0
f = ssi :
∀´ > 0, ∃a > 0, x ∈ D et |x − x 0 | < a ⇒ |f (x) − | < ´.
• lim
x +
0
f = ssi il existe x ∈ I tel que x > x 0 , et :
∀´ > 0, ∃a > 0, 0 < x − x 0 < a ⇒ |f (x) − | < ´.
• lim
x0
f = +∞ ssi :
∀A ∈ R, ∃a > 0, x ∈ D et |x − x 0 | < a ⇒ f (x) > A
On définit de façon analogue la limite à gauche en x 0
lim
x
−
0
f
, la limite
en +∞, en −∞, ces limites étant éventuellement +∞, −∞.
On a aussi les notations :
lim
x→x0
f (x) = ;
lim
x→x
+
0
f (x) = ;
lim
x→x0,x>x0
f (x) = . . .
La notation f (x) −→
x→x0
s’avère très pratique, mais il faut veiller à ne pas
séparer les deux flèches, qui n’ont de signification que conjointement.
1.2 Opérations sur les limites
Limites usuelles
On rappelle les limites suivantes :
Avec r > 0 : lim
x→+∞
x
r
= +∞ ;
lim
x→+∞
1
x r = 0
Avec n ∈ N ∗ , lim
x→−∞
x
n
=
+∞ si n est pair
−∞ si n est impair
lim
x→0
ln x = −∞ ; lim
x→+∞
ln x = +∞ ; lim
x→−∞
e
x
= 0 ; lim
x→+∞
e
x
= +∞
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