Introduction
• Différence, quotient
On ne peut rien dire de général, et on se gardera de soustraire ou
diviser membre à membre des inégalités.
Pour encadrer une différence x − y, le mieux est d’encadrer −y, puis
x + (−y) :
a x a
b y b
⇒
a x a
−b −y −b
⇒ a − b
x − y a
− b
Pour encadrer un quotient de nombres positifs :
0 < a x a
0 < b y b
⇒
0 < a x a
0 <
1
b
1
y
1
b
⇒ 0 <
a
b
x
y
a
b
Pour majorer un quotient de nombres positifs, on majore le numérateur et on minore le dénominateur.
7.2 Inégalités et fonctions
Principe général.
Soit f définie sur l’intervalle I, et a, b ∈ I. Alors
Si f est croissante :
a b ⇒ f (a) f (b)
Si f est décroissante :
a b ⇒ f (a) f (b)
Sif est continue et strictement croissante : a b ⇔ f (a) f (b)
Sif est continue et strictement décroissante : a b ⇔ f (a) f (b)
Dans les deux derniers cas, il y a équivalence car f est une bijection, et
f −1 a même sens de variation que f .
Une fonction croissante conserve le sens des inégalités, une fonction
décroissante le renverse.
0 a b ⇒ a
2
b
2
0 a b ⇔
√
a
√
b
0 a b ⇒ a
r
b
r pour tout nombre réel r positif
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