Techniques de base
Une racine simple est une racine d’ordre de multiplicité 1, une racine
double est une racine d’ordre de multiplicité 2. La somme des ordres de
multiplicité des racines d’un polynôme de degré n est au plus égale à n.
• Un polynôme de degré n 1 admet au plus n racines. Preuve par
la contraposée, à savoir : si un polynôme admet plus de n racines, alors
il n’est pas degré n. D’après le théorème de factorisation des polynômes,
si le polynôme admet les racines x 1 , . . . , x n+1 , il est alors factorisable par
(x − x 1 ) . . . (x − x n+1 ), et par conséquent il est de degré > n.
7. Manipulation des inégalités
7.1 Inégalités et opérations
• Somme
a b ⇒ a + c b + c ;
a b
a
b
⇒ a + a
b + b
En particulier, a b et c 0 ⇒ a b + c et a − c b.
Généralisation : ∀i ∈ 1, n, a i b i ⇒
n
i=1
a i
n
i=1
b i
Pour majorer une somme, on majore chaque terme de la somme.
• Produit
a b
c 0
⇒ ac bc ;
a b
c 0
⇒ ac bc
0 a b
0 a
b
⇒ 0 aa
bb
On peut multiplier entre elles des inégalités de même sens portant
sur des nombres positifs.
Ne pas oublier de renverser l’inégalité quand on multiplie par un
nombre négatif.
Prudence si on ne connaît pas le signe du nombre par lequel on
multiplie !
• Opposé, inverse
a b ⇒ −a −b ; 0 < a b ⇒
1
a
1
b
Les inverses des nombres positifs se rangent dans l’ordre inverse.
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