Techniques de base
0 < a b ⇔ ln a ln b ; a b ⇔ e
a
e
b
0 < a < b ⇔
1
a
>
1
b
> 0
• Attention à la fonction x → x
2 :
− 0 a b ⇒ a
2
b
2 , mais a
2
b
2
⇒
√
a 2
√
b 2 ,
c’est-à-dire seulement : a
2
b
2
⇒ |a| |b|
− Si a 0, b 0, alors a
2
b
2
⇒ a b (et il y a équivalence).
− On notera en particulier, avec b 0:
x
2
b ⇔ −
√
b x
√
b ; x
2
b ⇔ x −
√
b ou x
√
b
• À noter également, avec n entier 2 :
0 x 1 ⇒ 0 x
n
x
√
x 1
x 1 ⇒ x
n
x
√
x 1
Inégalités et valeur absolue
• |x| = Max {x, −x} (le plus grand des deux nombres x, −x).
• |x| =
x si x 0
−x si x 0
• |x| est la distance du point x au point 0 de la droite réelle :
0
| |
• |a − b| est la distance du point a au point b :
• Pour tout x ∈ R : |x| 0, et |x| = 0 ⇔ x = 0.
• Pour tout a, b dans R : |a + b| |a| + |b| (inégalité triangulaire).
Généralisation :
n
i=1
a i
n
i=1
|a i |
Attention, on a seulement |a − b| |a| + |b|.
27