Introduction
Ainsi on peut prouver par des techniques d’analyse que l’équation
e
−x
= x
admet une solution unique, et en donner une valeur approchée, mais
il ne faut surtout pas chercher à en donner la valeur exacte !
6. Polynômes
6.1 Définitions
Un polynôme, ou fonction polynôme, est une application P de R
dans R définie par :
P (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n
où les a i sont des nombres réels.
Le plus grand entier i tel que a i = 0 est appelé le degré de P. On note
i = d˚ (P). Si tous les a i sont nuls, P est le polynôme nul, on convient
que son degré est −∞.
On dit que le réel a est une racine de P ssi P (a) = 0.
On dit que le polynôme P est factorisable (ou divisible) par le polynôme Q ssi il existe un polynôme R tel que P (x) = Q (x) R (x).
6.2 Propriétés
Propriétés algébriques
• Si P et Q sont des polynômes, alors P + Q et PQ sont des polynômes,
et on a :
d˚ (PQ) = d˚ (P) + d˚ (Q) ; d˚ (P + Q) Max (d˚ (P) , d˚ (Q)) ;
Les résultats sur le degré sont valables même si un des polynômes est nul,
avec la convention −∞ + b = −∞.
• La composée de deux polynômes est un polynôme, et on a, avec P et
Q non nuls : d˚ (P ◦ Q) = d˚ (P) × d˚ (Q).
• La dérivée d’un polynôme de degré n, n 1, est un polynôme de
degré n − 1.
Théorème de factorisation des polynômes
Le polynôme P (x) est factorisable par x − a ssi a est racine de P :
P (x) = (x − a) Q (x) avec Q polynôme ⇔ P (a) = 0
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