Techniques de base
Résoudre f (x) = x, f (x) x, avec f (x) =
x+1
√
x 2 +1
− 1.
f (x) = x ⇔ (x + 1)
1
√
x 2 + 1
− 1
= 0
⇔ x = −1 ou
√
x 2 + 1 = 1
⇔ x = −1 ou x
2 + 1 = 1 ⇔ x = −1 ou x = 0
f (x) x ⇔ (x + 1)
1 −
√
x 2 + 1
√
x 2 + 1
0
⇔ (x + 1)
1 −
√
x 2 + 1
0
1 −
√
x 2 + 1 0 ⇔
√
x 2 + 1 1 ⇔ x
2 + 1 1 ⇔ x ∈ R
Un tableau de signes conduit finalement à l’ensemble des solutions
[−1 ; + ∞[.
• Autres types d’équations, comportant des fonctions logarithmes ou
exponentielles.
— e
2x
−3 e
x +2 = 0 ⇔ y = e
x et y
2
− 3y + 2 = 0 ⇔
e
x
= 1 ou e
x
= 2 ⇔ x = 0 ou x = ln 2
— e
x
− e −x > 0 ⇔ e
x
> e −x ⇔ x > −x ⇔ x > 0.
D’autres techniques sont parfois nécessaires, en particulier l’étude d’une
fonction :
— Pour tout x ∈ R, e
x
x + 1. En effet, avec g (x) = e
x
−x − 1, on a
g (x) = e
x
−1, donc
x
−∞
0
+ ∞
g (x)
−
0
+
d’où la conclusion
g (x)
0
(l’étude des limites est inutile).
— On montre de même : ∀x > 0, ln x x − 1.
Vous prendrez bien garde à l’énoncé ; la question :
« Résoudre l’équation f (x) = 0 »
est tout à fait différente de la question
« Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique ».
Pour la première question la valeur explicite de la solution, ou des
solutions, est demandée. Ce n’est pas le cas de la dernière question,
et il ne faut donc pas chercher à exprimer cette solution.
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