Introduction
• Ces formules de résolution sont relativement sophistiquées, et vous
devriez éviter de les utiliser quand c’est possible, c’est-à-dire assez
souvent :
− Équation ax
2 + c = 0 : isoler x
2 , ou factoriser quand c’est possible.
− Équation ax
2 + bx = 0 : factoriser par x.
− « Racine évidente » : si a + b + c = 0, alors ax
2 + bx + c admet 1
pour racine, on trouve l’autre en factorisant par x − 1 ; elle vaut
c
a .
De même, si a − b + c = 0, les deux racines sont −1 (évidente) et
−
c
a .
• De façon générale, quand elles existent, la somme et le produit des
racines de ax
2 + bx + c valent respectivement
c
a et −
b
a (développer
a (x − x 1 ) (x − x 2 ) = ax
2 + bx + c, puis identifier).
• Pour déterminer la position d’un nombre m par rapport aux racines
de P (x), il n’est pas nécessaire de déterminer celles-ci, il suffit de
calculer P (m), qui sera du signe de a si m est à l’extérieur des racines.
• Si l’équation est à coefficients entiers et b est pair, vous simplifierez
par 2 l’expression des racines (si elles existent).
5.3 Autres équations et inéquations
Il n’y a pas de théorie générale et qui marcherait dans toutes les situations.
Contentons-nous de donner quelques principes :
• Problèmes du type P (x) = 0, P (x) 0, où P est un polynôme. On
se ramène par factorisation à des problèmes de degré 2, en utilisant le
théorème de factorisation des polynômes, voir le § 6 de cette introduction.
• Problèmes du type R 1 (x) = R 2 (x) , R 1 (x) R 2 (x), où R 1 , R 2 sont
des fractions rationnelles, ou fonctions rationnelles, c’est-à-dire des quotients de polynômes. On élimine les dénominateurs, en suivant les principes :
A
B = 0 ⇔ A = 0 et B = 0 ; le signe de
A
B est déterminé par le
signe de A et de B.
x
2
x − 1
1
x − 1
⇔
x
2
− 1
x − 1
0 (surtout pas équivalent à x
2
1 !)
⇔
(x − 1) (x + 1)
x − 1
0 ⇔ x + 1 0 et x = 1 ⇔ x ∈ ] − 1, +∞[ \ {1}
• Problèmes irrationnels, avec présence d’un (ou plusieurs) radicaux. On
isole le radical, puis on élève au carré, mais attention aux équivalences :
√
A = B ⇔ A = B
2 et B 0 ;
√
A B ⇔ 0 A B
2 et B 0
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• Ces formules de résolution sont relativement sophistiquées, et vous
devriez éviter de les utiliser quand c’est possible, c’est-à-dire assez
souvent :
− Équation ax
2 + c = 0 : isoler x
2 , ou factoriser quand c’est possible.
− Équation ax
2 + bx = 0 : factoriser par x.
− « Racine évidente » : si a + b + c = 0, alors ax
2 + bx + c admet 1
pour racine, on trouve l’autre en factorisant par x − 1 ; elle vaut
c
a .
De même, si a − b + c = 0, les deux racines sont −1 (évidente) et
−
c
a .
• De façon générale, quand elles existent, la somme et le produit des
racines de ax
2 + bx + c valent respectivement
c
a et −
b
a (développer
a (x − x 1 ) (x − x 2 ) = ax
2 + bx + c, puis identifier).
• Pour déterminer la position d’un nombre m par rapport aux racines
de P (x), il n’est pas nécessaire de déterminer celles-ci, il suffit de
calculer P (m), qui sera du signe de a si m est à l’extérieur des racines.
• Si l’équation est à coefficients entiers et b est pair, vous simplifierez
par 2 l’expression des racines (si elles existent).
5.3 Autres équations et inéquations
Il n’y a pas de théorie générale et qui marcherait dans toutes les situations.
Contentons-nous de donner quelques principes :
• Problèmes du type P (x) = 0, P (x) 0, où P est un polynôme. On
se ramène par factorisation à des problèmes de degré 2, en utilisant le
théorème de factorisation des polynômes, voir le § 6 de cette introduction.
• Problèmes du type R 1 (x) = R 2 (x) , R 1 (x) R 2 (x), où R 1 , R 2 sont
des fractions rationnelles, ou fonctions rationnelles, c’est-à-dire des quotients de polynômes. On élimine les dénominateurs, en suivant les principes :
A
B = 0 ⇔ A = 0 et B = 0 ; le signe de
A
B est déterminé par le
signe de A et de B.
x
2
x − 1
1
x − 1
⇔
x
2
− 1
x − 1
0 (surtout pas équivalent à x
2
1 !)
⇔
(x − 1) (x + 1)
x − 1
0 ⇔ x + 1 0 et x = 1 ⇔ x ∈ ] − 1, +∞[ \ {1}
• Problèmes irrationnels, avec présence d’un (ou plusieurs) radicaux. On
isole le radical, puis on élève au carré, mais attention aux équivalences :
√
A = B ⇔ A = B
2 et B 0 ;
√
A B ⇔ 0 A B
2 et B 0
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