Techniques de base
Cette remarque est tout à fait essentielle et trouve sa généralisation
dans les systèmes d’équations linéaires, voir § 4.1.
Vous serez particulièrement vigilant devant une équation telle que
ax = 0 : si a = 0, l’équation devient 0 × x = 0, qui a une infinité de
solutions. Sinon l’équation devient x = 0, qui a une solution unique.
Signe de ax + b, Pour a = 0:
x
−∞
−b/a
+∞
ax + b
signe de (−a)
0
signe de a
5.2 Problèmes du second degré
Soit a, b, c des nombres réels, avec a = 0, et soit le polynôme du second
degré P (x) = ax
2 + bx + c. Tous les résultats à connaître découlent de ce
calcul :
P (x) = a
x
2 +
b
a
x +
c
a
= a
x +
b
2a
2
−
b
2
4a 2 +
c
a
= a
x +
b
2a
2
−
b
2
− 4ac
4a 2
Soit D = b
2
− 4ac (discriminant).
• Si D < 0, P (x) est de la forme a
B
2 + C
avec C > 0 : P (x) ne
s’annule pas, ne se factorise pas dans R, est toujours du signe de a.
• Si D = 0, alors P (x) = a
x +
b
2a
2 , admet −
b
2a pour racine double, se
factorise dans R, est du signe de a en dehors de la racine.
• Si D > 0, P (x) est de la forme a
B
2
− C
2
= a (B − C) (B + C). On
obtient
P (x) = a (x − x 1 ) (x − x 2 )
avec x 1 =
−b −
√ D
2a
; x 2 =
−b +
√ D
2a
P (x) admet les deux racines distinctes x 1 et x 2 , est factorisable dans R,
est « du signe de a à l’extérieur des racines », du signe de −a à l’intérieur.
On voit donc que pour un polynôme du second degré, P (x) est factorisable par x − a ssi a est racine de P (x). Ce résultat se généralise aux
polynômes de degré supérieur, voir le § 6 de cette introduction.
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