Introduction
• Avec a = 1, b = −1, on obtient :
n
k=0
(−1)
k
n
k
= 0
ce qui montre que dans un ensemble à n éléments, le nombre de parties
de cardinal pair et le nombre de parties de cardinal impair sont tous
deux égaux, et donc égaux à 2
n−1 .
• Voici un exercice de dénombrement où la formule du binôme est
utilisée : si E est un ensemble de cardinal n, alors le nombre de couples
(A, B) de parties de E telles que A ∩ B = ∅ est égal à 3
n .
En effet, pour tout k appartenant à 0, n, le nombre de parties A à k
éléments est
n
k
. Le choix de A étant fait, le nombre de parties B telles
que A ∩ B = ∅ est 2
n−k , car A ∩ B = ∅ ssi B ⊂ A, ssi B est une partie
de A, et le nombre de parties de A est égal à 2
n−k , A étant de cardinal
n − k. En faisant varier k de 0 à n, on obtient un nombre de couples
(A, B) qui conviennent égal à
n
k=0
n
k
2
n−k
=
n
k=0
n
k
2
n−k
1
k
= (2 + 1)
n
= 3
n
5. Équations, inéquations
Résoudre une équation d’inconnue x ∈ R, c’est déterminer l’ensemble
des nombres réels par lesquels on peut remplacer l’inconnue x de façon
à obtenir une égalité vraie.
Définitions analogues pour un inéquation, un système d’équations.
5.1 Problèmes du premier degré
Théorème (équation du premier degré).
Soit a, b ∈ R, et soit S = {x ∈ R ; ax + b = 0}. Alors
si a = 0, S =
−
b
a
;
si a = 0 et b = 0, S = ∅ ; si a = 0 et b = 0, S = R.
En particulier, l’équation ax + b = 0 admet une solution unique ssi
a = 0.
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