Techniques de base
4.4 Formule du binôme
On démontre classiquement par récurrence le
Théorème. Pour tout a, b ∈ R, n ∈ N :
(a + b)
n
=
n
k=0
n
k
a
n−k b
k
=
n
k=0
n
k
a
k b
n−k
Pour les premières valeurs de n, on obtient :
(a + b)
0
= 1
(a + b)
1
= a + b
(a + b)
2
= a
2 + 2ab + b
2
(a + b)
3
= a
3 + 3a
2 b + 3ab
2 + b
3
(a + b)
4
= a
4 + 4a
3 b + 6a
2 b
2 + 4ab
3 + b
4
Vous devez mémoriser, et savoir utiliser cette formule dans les deux
sens (développement ou factorisation). Voici quelques remarques
pour aider à cette mémorisation :
Dans le développement, les coefficients sont ceux de la ligne n du
tableau de pascal. Le premier développement est fait suivant les puissances décroissantes de a, croissantes de b, et c’est le contraire pour le
deuxième développement. Dans chaque terme, la somme des exposants est égale à n.
Quelques exemples d’utilisation
• Pour obtenir le développement de (a − b)
n , on écrit :
(a − b)
n
= (a + (−b))
n
=
n
k=0
n
k
a
n−k (−1)
k b
k
• Avec a = b = 1, on obtient
n
k=0
n
k
= 2
n
ce qui démontre que le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est égal à 2
n .
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