Introduction
{écriture} ÓÖ ¼ ØÓ Ò Ó
Ò ÓÖ ¼ ØÓ Ó
ÛÖÖØØ´´´´¸¸µµµÛÖÖØØÐÒÒ
ÒÒÒ
Æƺ
Comme autres propriétés des nombres
n
k
, mentionnons :
n
k
=
n
k
n − 1
k − 1
;
n
s
s
k
=
n
k
n − k
s − k
;
n
i=k
i
k
=
n + 1
k + 1
;
p
k=0
n
k
m
p − k
=
n + m
p
;
n
k=0
n
k
2 =
2n
n
Les deux premières égalités s’établissent très facilement avec les factorielles. La première est fréquemment utilisée.
La troisième se démontre par récurrence sur n: la propriété est vraie
pour n = 0. On la suppose vraie pour n fixé dans N ; pour k ∈ 0 ; n,
on a alors
n+1
i=k
i
k
=
n
i=k
i
k
+
n + 1
k
=
n + 1
k + 1
+
n + 1
k
=
n + 2
k + 1
(hypothèse de récurrence, puis formule de Pascal). Pour k = n + 1, la
propriété est aussi vraie, l’hérédité est ainsi complètement établie.
La quatrième égalité est connue sous le nom de formule de Vandermonde. Elle est facile à mémoriser si on pense à un exemple : avec
n = 8, m = 24, p = 5, le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32
cartes (membre de droite de l’égalité) est égal à la somme des nombres
de mains de 5 cartes comportant 0, 1, 2, 3, 4, 5 cœurs (membre de
gauche ; en effet, le nombre de mains de 5 cartes comportant k cœurs
est égal à
8
k
24
5−k
: on choisit k cœurs parmi les 8 cœurs du jeu de 32
cartes, puis on complète avec 5 − k non-cœurs parmi 24 non-cœurs).
La cinquième formule est un cas particulier de la quatrième, avec :
m = p = n, en utilisant
n
n−k
=
n
k
.
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