Techniques de base
Propriétés de nombres
n
k
Soit n, k ∈ N, 0 k n − 1. Alors :
n
0
=
n
n
= 1 ;
n
1
=
n
n − 1
= n ;
n
n − k
=
n
k
;
(formule de Pascal)
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
.
Ces formules se démontrent en utilisant les factorielles, ou bien par
des considérations de dénombrement : il est évident par exemple que
n
0
= 1. Pour la formule de Pascal, considérer les parties à k + 1 éléments de l’ensemble {a 1 , a 2 , . . . , a n , b} : il y en a
n+1
k+1
, et celles qui
contiennent b sont au nombre de
n
k
, celles qui ne contiennent pas b
sont au nombre de
n
k+1
.
Elles permettent de construire de proche en proche le triangle de Pascal, ou figure en ligne n et colonne k le nombre
n
k
:
H H
H H H
n
k
0
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
Programmation du triangle de Pascal jusqu’à la ligne n : on utilise des
boucles définies emboîtées. La variable d’entrée est Ò, celle de sortie
est ¸ de type tableau.
ÔÖÓÓÖÖÑ ÔÔ×××Ð
ÚÚÖ Ò¸¸¸¸¸¸ÒØØØØÖÖÖÖÖÖÖÖÝݼºº½¼¼¸¼ºº½¼¼¼ÓÓ ÒØØØØÖÖ
ÁÆ
ÖÖÖÖÐÒ´Òµ
{initialisation de la première colonne et de la diagonale}
ÓÖ ¼ ØÓ Ò Ó Ò ´¼¸¼µµµ½½ ´´¸¸µµµ½½
ÒÒÒ
{initialisation du reste du tableau par la formule de Pascal}
ÓÖ ½ ØÓ Ò¹½ Ó
ÓÖ ¼ ØÓ ¹½ Ó ´´·½¸¸·½µµµµ´´¸¸µ··´´¸¸·½µµ
15