Introduction
Cardinal de la réunion de deux ensembles
Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B) ;
Si A ∩ B = ∅, Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B).
Formule qui se généralise à 3, 4, n ensembles sur le modèle de la formule
du crible, voir § 7.1.2, où on remplacera les « P » par des « Card ».
4.3 Nombre de parties d’un ensemble
Théorème
• Soit k, n ∈ N, 0 k n. Le nombre de parties à k éléments d’un
ensemble à n éléments est égal à :
n
k
=
n!
k! (n − k)!
• Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est égal à 2
n :
Si Card (E) = n, alors Card (P (E)) = 2
n
En effet le nombre de suites à k éléments distincts d’un ensemble à n éléments est égal à
n!
(n−k)! . Mais chaque partie à k éléments de cet ensemble
à n éléments est représentée par k! permutations distinctes, d’où le premier résultat. On en déduit le deuxième résultat en utilisant la formule
du binôme, voir § 2.4.4.
•
n
k
se lit « k parmi n ». C’est le nombre de manières de choisir k
éléments parmi n, quand on ne tient pas compte de l’ordre du choix.
• Les nombres
n
k
sont appelés coefficients binomiaux, voir § 2.4.4.
Après simplifications, quand 1 k n, on peut écrire
n
k
=
n (n − 1) . . . (n − k + 1)
k (k − 1) . . . 1
Le numérateur et le dénominateur comportent chacun k facteurs.
Vous utiliserez cette technique, et la formule
n
n−k
=
n
k
, pour
calculer des valeurs particulières, par exemple
10
7
=
10
3
=
10 × 9 × 8
3 × 2 × 1
= 720
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