Techniques de base
Si P (x) = (x − a) Q (x), il est évident que P (a) = 0. On admet la réciproque (si P (a) = 0, alors P (x) est factorisable par x − a).
Voici quelques utilisations et conséquences de ce théorème :
• Résolution d’équations ou d’inéquations de degré 3. La mise
en évidence d’une racine a par l’énoncé, ou l’existence d’une racine
évidente a (le plus souvent 0, 1 ou −1), permet une mise en facteur par
x − a, donc de « faire baisser le degré ».
Soit P (x) = x
3 + 5x
2
− 7x + 1. Résoudre dans R :
P (x) = 0 ; P (x) 0
• P (1) = 0, donc P est factorisable par x − 1, donc
P (x) = (x − 1)
ax
2 + bx + c
.
Pour déterminer a, b, c, on peut
– développer, puis procéder par identification ;
– trouver les coefficients de proche en proche : a = 1, puis b = 6 en
regroupant mentalement les deux termes en x
2 du développement. . .
– utiliser la méthode de Horner, voir plus loin.
On trouve
P (x) = (x − 1)
x
2 + 6x − 1
,
puis
P (x) = 0 ⇔ x ∈
1, −3 +
√
10, −3 −
√
10
• À l’aide d’un tableau de signes, on trouve
P (x) 0 ⇔ x ∈
−3 −
√
10, −3 +
√
10
∪ [1, +∞[
• Méthode de Horner pour calculer P (a). On considère
P (x) = a n x
n + · · · + a 1 x + a 0
Le polynôme Q (x) = P (x) − P (a) admet a pour racine, donc
a n x
n + . . . a 1 x + a 0 − P (a) = (x − a)
b n−1 x
n−1 + · · · + b 1 x + b 0
= b n−1 x
n + (b n−2 − ab n−1 ) x
n−1 + · · · + (b 0 − ab 1 ) x − ab 0
Par identification, on obtient le système d’équations
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
b n−1 = a n
b n−2 − ab n−1 = a n−1
. . .
b 0 − ab 1 = a 1
−ab 0 = a 0 − P (a)
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