Partie 3 – Probabilités
4.2 Estimation par intervalle de confiance
Soit p une probabilité inconnue, ou le paramètre inconnu d’une loi de
probabilité.
Soit a un nombre appartenant à ]0 ; 1[.
On dit que l’intervalle [a ; b] est un intervalle de confiance pour p au
niveau de confiance 1 – a (ou au niveau de risque a) ssi :
P (a p b) 1 − a
a est souvent donné sous forme de pourcentage : on parlera d’un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % par exemple .
On obtient un intervalle de confiance pour p en utilisant l’inégalité de
Bienaymé-Tchebycheff, ou une approximation par une loi normale, via
le théorème de la limite centrée.
On lance 1 000 fois une pièce de monnaie, on obtient 480 fois « pile ».
La probabilité d’obtenir « pile » avec cette pièce est une inconnue p, et
on cherche à l’estimer.
Pour i entier compris entre 1 et 1 000, on considère la variable aléatoire
X i définie par : X i = 1 si on a obtenu « pile » au i-ème lancer, X i = 0
sinon.
X i suit la loi de Bernoulli de paramètre p. On a E (X i ) = p,
V (X i ) = p (1 − p).
On considère
S 1 000 =
1 000
i=1
X i ; Z 1 000 =
S 1 000
1 000
=
1
1 000
1 000
i=1
X i
• Appliquons l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff à la v.a Z 1 000 :
∀´ > 0, P
|Z 1 000 − E (Z 1 000 )| ´
V (Z 1 000 )
´ 2
D’après la linéarité de l’espérance, E (Z 1 000 ) = p, et, en utilisant la
formule V (aX + b) = a
2 V (X), puis l’indépendance des v.a X i :
V (Z 1 000 ) =
p(1−p)
1 000 . On obtient donc :
∀´ > 0, P
|Z 1 000 − p| ´
p (1 − p)
1 000´
2
Par conséquent :
∀´ > 0, P
|Z 1 000 − p| < ´
P
|Z 1 000 − p| ´
1 −
p (1 − p)
1 000´
2
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