Chapitre 9 – Variables aléatoires à densité Convergences,...
Pour tout p ∈ [0 ; 1], on a 0 p (1 − p)
1
4 (étudier la fonction
f (t) = t (1 − t) sur [0 ; 1]). Donc
1 −
p (1 − p)
1 000´ 2 1 −
1
4 000´ 2 0,90 pour tout ´
1
20
.
On a obtenu finalement
P
|Z 1 000 − p| <
1
20
0,90
Or la valeur observée de Z 1 000 est 480/1 000 = 0,48, et
|0,48 − p| <
1
20
⇔ −
1
20
< 0,48 − p <
1
20
⇔ 0,48 −
1
20
< p < 0,48 +
1
20
Un intervalle de confiance pour p au niveau de confiance 0,90 est donc
]0,43 ; 0,53[.
• Maintenant, utilisons le théorème de la limite centrée, appliquée à
Z n =
1
n
n
i=0 X i : la variable centrée réduite associée à Z n converge en
loi vers une v.a T qui suit la loi normale centrée réduite.
1 000 est assez « grand », on peut donc considérer que
T =
Z 1 000 − E (Z 1 000 )
s (Z 1 000 )
=
Z 1 000 − p
p(1−p)
1 000
suit la loi normale centrée réduite. Par lecture inverse de la table de la
loi normale centrée réduite, on obtient
P (−1,65 T 1,65) 0,90
On a donc, en tenant compte de p (1 − p)
1
4 :
P
−1,65 ×
1
2
√
1 000
0,48 − p 1,65 ×
1
2
√
1 000
0,90
On obtient finalement, par cette méthode
[0,453 ; 0,507]
comme intervalle de confiance pour p au niveau de confiance 0,90.
233