Chapitre 9 – Variables aléatoires à densité Convergences,...
Propriétés
La moyenne empirique
Z n =
1
n
(X 1 + X 2 + · · · + X n )
est un estimateur sans biais de E (X).
En effet, d’après la linéarité de l’espérance :
E (Z n ) =
1
n
(E (X 1 ) + E (X 2 ) + · · · + E (X n ))
=
1
n
nE (X) = E (X)
Avec r (T n ) le risque quadratique et b le biais de T n :
r (T n ) = b
2 + V (T n )
Démonstration :
(T n − u)
2
= [T n − E (T n ) + E (T n ) − u]
2
= [T n − E (T n ) + b]
2
= (T n − E (T n ))
2 + 2b (T n − E (T n )) + b
2
Et on obtient le résultat en utilisant la linéarité de l’espérance. En effet,
l’espérance de (T n − E(T n ))
2 est par définition égale à la variance de T n ,
et l’espérance de T n − E (T n ) est égale à 0.
Remarques
• Entre deux estimateurs, on préférera souvent celui dont le risque quadratique est le plus petit.
• Pour un estimateur sans biais, le risque quadratique est égal à la
variance.
• On parle aussi d’estimateurs asymptotiquement sans biais :
lim
n→+∞
b (T n ) = 0
• Un estimateur est dit convergent ssi
lim
n→+∞
r (T n ) = 0
Par exemple, la moyenne empirique est un estimateur convergent de
l’espérance.
• En toute rigueur, l’espace probabilisable sous-jacent est muni, dans le
cadre de l’estimation, d’une famille de probabilités P u dépendant du paramètre u. Les notations E (T n ) . . . sont donc des abus d’écriture, qui ne
portent pas à conséquence.
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