Partie 3 – Probabilités
Alors S n suit approximativement la loi N
nm, ns
2
, et Z n suit approximativement la loi N
m,
s
2
n
.
4. Estimation
Une expérience aléatoire donne lieu à une observation numérique. Cela définit
une variable aléatoire X. Dans la pratique, la loi de X n’est pas complètement connue, elle dépend d’un paramètre que l’on cherche à estimer.
• On lance une pièce de monnaie. X = 1 si on obtient pile, 0 sinon.
X suit la loi de Bernoulli B (p). p (probabilité d’obtenir « pile ») est le
paramètre à estimer.
• Des véhicules se présentent à un péage de faible trafic.
X, nombre de véhicules se présentant durant un intervalle de temps de
10 mn, suit la loi de Poisson P (l). On cherche à estimer l.
• Une photocopieuse tombe en panne. On peut chercher à modéliser sa
durée de bon fonctionnement par une v.a X suivant la loi exponentielle
E (a). a est inconnu et on cherche à l’estimer.
4.1 Estimation ponctuelle
Définitions. Soit X la variable aléatoire non complètement connue,
supposée avoir une espérance et une variance.
Soit u le paramètre à estimer.
• Pour cela on réalise n fois l’expérience aléatoire.
On obtient un n-échantillon (X 1 , · · · , X n ) : X 1 , · · · , X n sont des
variables aléatoires de même loi que X, et supposées indépendantes.
• Un estimateur de u est une variable aléatoire T n fonction uniquement
de X 1 , X 2 , · · · , X n et de n.
Problème : Apprécier quantitativement différents estimateurs, afin de
choisir « le meilleur ».
• On appelle biais de T n la quantité
b (T n ) = b = E (T n ) − u.
T n est dit sans biais ssi E (T n ) = u.
• On appelle risque quadratique de T n la quantité :
r (T n ) = E
(T n − u)
2
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Alors S n suit approximativement la loi N
nm, ns
2
, et Z n suit approximativement la loi N
m,
s
2
n
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4. Estimation
Une expérience aléatoire donne lieu à une observation numérique. Cela définit
une variable aléatoire X. Dans la pratique, la loi de X n’est pas complètement connue, elle dépend d’un paramètre que l’on cherche à estimer.
• On lance une pièce de monnaie. X = 1 si on obtient pile, 0 sinon.
X suit la loi de Bernoulli B (p). p (probabilité d’obtenir « pile ») est le
paramètre à estimer.
• Des véhicules se présentent à un péage de faible trafic.
X, nombre de véhicules se présentant durant un intervalle de temps de
10 mn, suit la loi de Poisson P (l). On cherche à estimer l.
• Une photocopieuse tombe en panne. On peut chercher à modéliser sa
durée de bon fonctionnement par une v.a X suivant la loi exponentielle
E (a). a est inconnu et on cherche à l’estimer.
4.1 Estimation ponctuelle
Définitions. Soit X la variable aléatoire non complètement connue,
supposée avoir une espérance et une variance.
Soit u le paramètre à estimer.
• Pour cela on réalise n fois l’expérience aléatoire.
On obtient un n-échantillon (X 1 , · · · , X n ) : X 1 , · · · , X n sont des
variables aléatoires de même loi que X, et supposées indépendantes.
• Un estimateur de u est une variable aléatoire T n fonction uniquement
de X 1 , X 2 , · · · , X n et de n.
Problème : Apprécier quantitativement différents estimateurs, afin de
choisir « le meilleur ».
• On appelle biais de T n la quantité
b (T n ) = b = E (T n ) − u.
T n est dit sans biais ssi E (T n ) = u.
• On appelle risque quadratique de T n la quantité :
r (T n ) = E
(T n − u)
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