Chapitre 9 – Variables aléatoires à densité Convergences,...
Avec Z ∗
n v.a centrée réduite associée à Z n , la suite
Z ∗
n
converge elle
aussi vers X ∗ de loi normale centrée réduite.
• De façon générale, on dit que la suite de v.a (X n ) converge en loi vers
la v.a X ssi, avec F n f.r de X n et F f .r de X :
lim
n→+∞
F n (x) = F (x)
en tout point x de R où F est continue, et on admet que cette définition
générale se traduit comme indiqué dans les deux cas évoqués ici.
3.4 Approximations
• Si le taux de sondage
n
N est inférieur à
1
10 , la loi hypergéométrique
H (N, n, p) peut être approchée par la loi binomiale B (n, p).
• Si n est grand et p petit¸ la loi binomiale B (n, p) peut être approchée
par la loi de Poisson P (np).
• Si n est grand et p ni trop grand ni trop petit, la loi binomiale B (n, p)
peut être approchée par la loi normale N (np, np (1 − p)).
• Si l est grand, P (l) peut être approchée par N (l, l).
On donne ici des critères qualitatifs (« n grand ». . . ), il existe des critères
plus précis.
Si n est grand et p petit¸ la loi binomiale B (n, p) peut être approchée par
la loi de Poisson P (np) : cela signifie que dans les conditions mentionnées, si X → B (n, p) et
∼
X → P (np), pour tout k ∈ [0, n], P
∼
X = k
constitue une bonne approximation de P (X = k). C’est une traduction
de la convergence en loi de X n → B
n,
l
n
vers X → P (l).
Dans le cas où on approche une v.a discrète par une v.a absolument
continue, il faut procéder à la « correction de continuité ». Par exemple,
avec l grand et X → P (l) :
P (X = n) ≈ P
n −
1
2
∼
X n +
1
2
, avec
∼
X → N (l, l)
Dans tous les cas, on approche une loi par une autre loi ayant même
espérance, et même variance s’il y a besoin d’ajuster deux paramètres.
• Du théorème de la limite centrée, on infère le résultat suivant :
Soit (X n ) une suite de v.a indépendantes et de même loi, d’espérance m
et de variance s
2
> 0, et soit
S n = X 1 + X 2 + · · · + X n ; Z n =
S n
n
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Avec Z ∗
n v.a centrée réduite associée à Z n , la suite
Z ∗
n
converge elle
aussi vers X ∗ de loi normale centrée réduite.
• De façon générale, on dit que la suite de v.a (X n ) converge en loi vers
la v.a X ssi, avec F n f.r de X n et F f .r de X :
lim
n→+∞
F n (x) = F (x)
en tout point x de R où F est continue, et on admet que cette définition
générale se traduit comme indiqué dans les deux cas évoqués ici.
3.4 Approximations
• Si le taux de sondage
n
N est inférieur à
1
10 , la loi hypergéométrique
H (N, n, p) peut être approchée par la loi binomiale B (n, p).
• Si n est grand et p petit¸ la loi binomiale B (n, p) peut être approchée
par la loi de Poisson P (np).
• Si n est grand et p ni trop grand ni trop petit, la loi binomiale B (n, p)
peut être approchée par la loi normale N (np, np (1 − p)).
• Si l est grand, P (l) peut être approchée par N (l, l).
On donne ici des critères qualitatifs (« n grand ». . . ), il existe des critères
plus précis.
Si n est grand et p petit¸ la loi binomiale B (n, p) peut être approchée par
la loi de Poisson P (np) : cela signifie que dans les conditions mentionnées, si X → B (n, p) et
∼
X → P (np), pour tout k ∈ [0, n], P
∼
X = k
constitue une bonne approximation de P (X = k). C’est une traduction
de la convergence en loi de X n → B
n,
l
n
vers X → P (l).
Dans le cas où on approche une v.a discrète par une v.a absolument
continue, il faut procéder à la « correction de continuité ». Par exemple,
avec l grand et X → P (l) :
P (X = n) ≈ P
n −
1
2
∼
X n +
1
2
, avec
∼
X → N (l, l)
Dans tous les cas, on approche une loi par une autre loi ayant même
espérance, et même variance s’il y a besoin d’ajuster deux paramètres.
• Du théorème de la limite centrée, on infère le résultat suivant :
Soit (X n ) une suite de v.a indépendantes et de même loi, d’espérance m
et de variance s
2
> 0, et soit
S n = X 1 + X 2 + · · · + X n ; Z n =
S n
n
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