Partie 3 – Probabilités
3.3 Convergence en loi
Exemple 1
Théorème. Soit l > 0 fixé, et soit, pour tout n ∈ N ∗ , X n une v.a
de loi B
n,
l
n
. Alors
∀k ∈ N,
lim
n→+∞
P (X n = k) = e
−l l
k
k!
On dit que la suite de v.a (X n ) converge en loi vers une v.a de loi P (l).
Ce théorème a été démontré § 8.4.2.
Exemple 2 : Théorème de la limite centrée
Théorème. Soit (X n ) une suite de v.a indépendantes et de même
loi, d’espérance m et de variance s
2 positive.
Soit S ∗
n la variable centrée réduite associée à
S n = X 1 + X 2 + ... + X n
Alors
S ∗
n
converge en loi vers X ∗ de loi normale centrée réduite,
c’est-à-dire que l’on a, pour tout a, b dans R tels que a < b :
lim
n→+∞
P
a S
∗
n b
=
1
√
2p
b
a
e
−
t 2
2 dt
Théorème admis.
• E (S n
∗ ) = nm ; V (S n
∗ ) = ns
2 ; Le théorème de la limite centrée signifie
donc, pour tout a, b dans R tels que a < b :
lim
n→+∞
P
a
S n − nm
s
√
n
b
=
1
√
2p
b
a
e
−
t 2
2 dt
• Soit Z n =
1
n
(X 1 + X 2 + · · · + X n ) =
Sn
n .
On a d’après l’égalité ci-dessus :
lim
n→+∞
P
a
Z n − m
s
√
n
b
=
1
√
2p
b
a
e
−
t 2
2 dt
Et comme E (Z n ) = m, V (Z n ) =
s
2
n , on obtient :
lim
n→+∞
P
a Z
∗
n b
=
1
√
2p
b
a
e
−
t 2
2 dt
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