Chapitre 9 – Variables aléatoires à densité Convergences,...
3. Convergences et approximations
3.1 Inégalité de Bienaymé - Tchebycheff
Théorème. Soit X une variable aléatoire discrète ou à densité, possédant une espérance E (X) et une variance V (X).
Alors :
∀´ > 0, P
|X − E (X)| ´
V (X)
´ 2
La probabilité qu’une v.a s’ écarte de plus de ´ de sa valeur moyenne
est d’autant plus faible que sa variance est petite et que ´ est grand.
De façon équivalente, on a :
∀´ > 0, P
|X − E (X)| < ´
1 −
V (X)
´ 2
3.2 Loi faible des grands nombres
Théorème. Soit (X n ) une suite de v.a indépendantes et de même
loi, d’espérance m et de variance s
2 positive.
Soit Z n =
1
n
(X 1 + X 2 + · · · + X n ) .
Alors, pour tout ´ > 0 :
P
|Z n − m| ´
s
2
n´ 2
Il en résulte :
lim
n→+∞
P
|Z n − m| ´
= 0 ;
lim
n→+∞
P
|Z n − m| < ´
= 1
On dit que la suite de v.a (Z n ) converge en probabilité vers la variable
aléatoire certaine m.
De façon générale, on dit que la suite de v.a (X n ) converge en probabilité
vers la v.a X ssi :
∀´ > 0,
lim
n→+∞
P
|X n − X| ´
= 0
Démonstration de la loi faible des grands nombres : on applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff à Z n , dont l’espérance est égale à m, et la
variance à
s
2
n .
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