Partie 3 – Probabilités
Utilisation de la loi normale centrée réduite
• Grâce à la proposition 1, les calculs sur les v.a gaussiennes (i.e. suivant
une loi normale) se ramènent à des calculs sur la loi normale centrée
réduite. Plus précisément :
Proposition 2
• Soit a, b, x ∈ R, avec a < b, et X → N
m, s
2
. Alors
P (X x) = F
x − m
s
P (a X b) = F
b − m
s
− F
a − m
s
• Pour tout x ∈ R,
F (−x) = 1 − F (x) .
• Les valeurs de F ; sont tabulées (uniquement pour les valeurs positives,
ce qui est suffisant en utilisant le 2 ◦ de la proposition 2).
Pour toute v.a X → N
m, s
2
:
P
|X − m| s
= P (m − s X m + s)
= F
m + s − m
s
− F
m − s − m
s
= F (1) − F (−1) = 2F (1) − 1 ≈ 0,68
• À partir de la loi normale centrée réduite, on peut retrouver la valeur
de certaines intégrales.
+∞
0
t
2 e
−
t 2
2 dt =
√
2p
2
. En effet, avec X
∗
→ N (0, 1), on a E (X ∗ ) = 0
et V (X ∗ ) = 1, donc
1
√
2p
+∞
−∞
(t − 0)
2 e
−
t 2
2 dt = 1, donc
+∞
−∞
t
2 e
−
t 2
2 dt =
√
2p
D’où le résultat, car la fonction à intégrer est paire.
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