Chapitre 9 – Variables aléatoires à densité Convergences,...
2.3 Loi normale, ou loi de Laplace-Gauss
Elle modélise de très nombreuses séries statistiques (taille, poids des individus d’une population. . . ). Voir aussi § 9.3.4, approximations.
Soit m ∈ R et s > 0. On dit que X suit la loi normale de paramètres
m, s
2 , et on note X → N
m, s
2
, ssi X admet pour densité la
fonction f telle que, pour tout t ∈ R :
f (t) =
1
s
√
2p
e
−
(t−m) 2
2s 2
Espérance, variance
E (X) = m ; V(X) = s
2
On a montré au § 3.3.4 que l’intégrale de f sur R était convergente.
Loi normale centrée réduite
• Pour une v.a X quelconque admettant une espérance et une variance
non nulle, la v.a centrée réduite associée X ∗ est définie par
X
∗
=
X − E (X)
s (X)
On a E (X ∗ ) = 0 ; V (X ∗ ) = 1.
Proposition 1. X → N
m, s
2
si et seulement si la v.a centrée
réduite X ∗ associée suit la loi normale N (0, 1), ou loi normale
centrée réduite :
X → N
m, s
2
⇔ X
∗
=
X − m
s
→ N (0, 1)
• Soit X
∗
→ N (0, 1).
− X ∗ a pour densité la fonction w définie par w(t) =
1
√
2p
e
−
t 2
2 et par
conséquent (intégrale de Gauss) :
+∞
−∞
e
−
t 2
2 dt =
√
2p
− La fonction de répartition de X ∗ est notée lF. Pour tout x ∈ R
F (x) =
1
√
2p
x
−∞
e
−
t 2
2 dt
− E (X ∗ ) = 0 ; V (X ∗ ) = 1.
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