Partie 3 – Probabilités
• Déterminons l’expression de la f.r F à partir de celle de la densité f :
Si x < 0, alors
F (x) =
x
−∞
f (t) dt =
x
−∞
0 dt = 0 ;
Si x 0, alors
F (x) =
x
−∞
f (t) dt =
0
−∞
0 dt +
x
0
ae
−at dt
= 0 +
−e
−at
x
0
= 1 − e
−ax
Et on vérifie que la fonction obtenue est continue sur R.
• Calculons E (X). Pour x > 0, on effectue l’intégration par parties :
x
0
tae
−at dt =
−te
−at
x
0
+
x
0
e
−at dt = −xe
−ax +
−
1
a
e
−at
x
0
On obtient donc, car f est nulle en dehors de [0 ; + ∞[ :
E (X) =
+∞
−∞
tf (t) dt =
+∞
−0
tf (t) dt = lim
x→+∞
x
0
tae
−at dt =
1
a
• On procède de même pour le calcul de E
X
2
, pour obtenir V (X).
Remarques
• Loi exponentielle et loi géométrique. Soit X → E (a), et T la v.a
définie sur N ∗ par :
∀n ∈ N
∗ , (T = n) = (n − 1 X n)
Alors T suit la loi géométrique de paramètre 1 − e −a , car
∀n ∈ N ∗ , P (T = n) = F X (n) − F X (n − 1) = −e −an + e −a(n−1)
= e −a(n−1)
1 − e −a =
e −a n−1
1 − e −a
• Loi exponentielle et loi de Poisson. On suppose que le nombre N t de
clients se présentant à un guichet durant un intervalle de temps t suit la
loi de Poisson P (lt), l > 0. Soit Y la v.a égale à l’intervalle de temps
séparant l’arrivée de deux clients consécutifs. Y est à valeurs dans R
+ , et,
pour tout t > 0, (N t = 0) = (Y > t), donc
P (Y > t) = e
−lt (lt)
0
0!
= e
−lt ; P(Y t) = 1 − e
−lt
Et comme P (Y t) = 0 si t 0, on en déduit que Y → E (l) .
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