Partie 3 – Probabilités
Si x 0, F (x) =
x
0
e
−t dt = 1 − e
−x .
– Pour montrer que M est une variable aléatoire à densité, on détermine
d’abord la f.r F M de M, puis on montre que M est une vaac, puis on
détermine une densité f M de M. Pour tout x appartenant à R,
F M (x) = P (M x)
= P [(X x) ∩ (Y x)]
= P (X x) P (Y x) ,
car X et Y sont indépendantes. On obtient donc :
F M (x) = [F (x)]
2
=
0
s ix < 0
1 − e −x 2 si x 0
F M est continue sur tout R, de classe C
1 sur ]−∞, 0[ et ]0, +∞[, donc
M est une variable aléatoire à densité. Pour avoir une densité f M de
M, on dérive F M sur chacun des intervalles ]∞ ; 0[, ]0 ; + ∞[ et on
prolonge de manière arbitraire en 0. On a donc par exemple :
f M (x) =
0
s i x < 0
2e −x
1 − e −x
si x 0
1.3 Espérance, variance
Espérance (ou moyenne)
Soit X de densité f . Par définition,
E (X) =
+∞
−∞
t f (t) dt
sous réserve de convergence de l’intégrale.
Théorème de transfert. Soit X de densité f , soit w une fonction
définie sur R, continue sauf en un nombre fini de points. Alors, sous
réserve de convergence absolue de l’intégrale :
E (w (X)) =
+∞
−∞
w(t) f (t) dt
Linéarité de l’espérance. Soit X et Y des v.a quelconques (discrètes ou à densité), admettant des espérances, et a, b deux réels. Alors
X + Y et aX + b admettent des espérances, et on a
E (X + Y ) = E (X) + E (Y ) ; E(aX + b) = aE (X) + b
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