Chapitre 9 – Variables aléatoires à densité Convergences,...
• En tout point de R où f est continue (c’est-à-dire sur tout R sauf
en un nombre fini de points), F X est de classe C
1 , et F
X = f .
• Réciproquement, soit F une fonction croissante et continue sur
R, de classe C
1 sur R privé d’un nombre fini de points, et telle
que
lim
−∞
F X = 0, lim
+∞
F X = 1.
Alors F est la fonction de répartition d’une v.a X à densité, de densité
f = F partout où F est de classe C
1 .
Vous utiliserez la proposition 1 pour déterminer la fonction de répartition de X quand la densité de X est donnée.
Pour montrer qu’une fonction F donnée est la f.r d’une vaac X, vous
devrez vérifier tous les points de la partie réciproque de la proposition 2. On trouve alors une densité en calculant F (x) partout où F
est dérivable (c’est-à-dire sur R sauf en un nombre fini de points) et
en prolongeant F de façon arbitraire en ces points.
Si on sait que F est la fonction de répartition d’une v.a X et qu’on
veut montrer que X est une vaac, il suffit de vérifier que :
– F est continue sur tout R ;
– F est de classe C
1 sur R privé d’un nombre fini de points.
Soit X et Y deux vaac indépendantes, de même densité f définie par :
f (t) = 0 si t < 0 ; f (t) = e
−t si t 0.
Soit M la v.a définie sur R par : (M x) = (X x) ∩ (Y y). La
variable aléatoire ainsi définie est le maximum de X, Y .
– f est une densité de probabilité, car f est 0, continue sur ]−∞, 0[
et ]0 , +∞[. f est nulle en dehors de [0 ; + ∞[, donc
+∞
−∞
f (t) dt =
+∞
0
e
−t dt
= lim
x→+∞
x
0
e
−t dt
= lim x→+∞
−e −t x
0
= 1
– Déterminons la fonction de répartition de X et Y : f est nulle en
dehors de [0 ; + ∞[, donc F (x) = 0 si x < 0 ;
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