Partie 3 – Probabilités
Indépendance
On dit que les vaac X et Y sont indépendantes ssi
∀x, y ∈ R, P ((X x) ∩ (Y y)) = P (X x) P (Y y) ,
ou, de façon équivalente :
∀x, y ∈ R, P ((X > x) ∩ (Y > y)) = P (X > x) P (Y > y) .
1.2 Propriétés, calculs
Premières propriétés
Soit X une vaac, et soit a, b dans R tels que a b. On a :
• P (X = a) = 0 ;
• P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b) .
Probabilités, densité, fonction de répartition
Proposition 1. Soit X de densité f , de f.r F X .
Alors, pour tout x ∈ R :
P (X x) = F x (x) =
x
−∞
f (t) dt
On peut donc utiliser comme suit la fonction de répartition pour calculer
des probabilités :
Pour tout a, b ∈ R tels que a b,
P (a X b) =
b
a
f (t) dt = F X (b) − F X (a) ;
P (X b) =
b
−∞
f (t) dt = F X (b) ;
P (X > a) =
+∞
a
f (t) dt = 1 − P (X a) = 1 − F X (a) .
Propriétés de la fonction de répartition d’une vaac
Proposition 2. Soit X une v.a de densité f , de f.r F X .
• F X est croissante ;
• lim
−∞
F X = 0 ; lim
+∞
F X = 1 ;
• F X est continue sur tout R ;
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