Partie 3 – Probabilités
• Exemple de loi conditionnelle
Soit X → P (l), Y → P (m), X et Y indépendantes. On sait que
Z = X + Y → P (l + m). Montrons que la loi de X conditionnée par
(Z = n), n fixé dans N ∗ , est une loi binomiale :
Pour tout k ∈ {0, · · · , n}, on a :
P (Z=n) (X = k) =
P [(X = k)∩(Z = n)]
P (Z = n)
=
P [(X = k)∩(Y = n − k)]
P (Z = n)
=
P (X = k) × P (Y = n − k)
P (Z = n)
=
e −l l
k
k!
e
−m m
n−k
(n − k)!
e −(l+m) (l + m)
n
n!
=
n
k
l
l + m
k
m
l + m
n−k
D’où la conclusion. On est passé de l’événement (X = k) ∩ (Z = n)
à l’événement (X = k) ∩ (Y = n − k) (ces deux événements sont bien
égaux, car Z = X + Y ), pour utiliser l’indépendance de X, Y (alors que
X et Z ne sont pas indépendantes).
• Exemple d’utilisation de la formule des probabilités totales
Soit N → P (l) et Y une v.a telle que, pour tout n ∈ N ∗ , Y / (N = n)
suive la loi B (n, p). En d’autres termes, on a, pour 0 ≤ k ≤ n :
P (N=n) (X = k) =
n
k
p
k q
n−k
Alors Y suit la loi de Poisson de paramètre lp. On le montre en utilisant
la formule des probabilités totales, avec le sce (N = n) n∈N :
P (X = k) =
+∞
n=0
P (N=n) (X = k) P (N = n)
=
+∞
n=k
n
k
p
k q
n−k e
−l l
n
n!
= p
k e
−l 1
k!
+∞
n=k
q
n−k
l
n
(n − k)!
= p
k e
−l 1
k!
+∞
i=0
q
i l
i+k
i!
= l
k p
k e
−l 1
k!
+∞
i=0
(ql)
i
i!
= (lp)
k e
−l 1
k!
e
ql
= e
−lp (lp)
k
k!
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