Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
Ce calcul concentre bien des difficultés techniques, il est donc à bien
comprendre et maîtriser : formule des probabilités totales ; la somme
démarre valablement à n = k ; on met en facteur tout ce qui ne
dépend pas de n et on simplifie les factorielles ; changement d’indice
i = n − k ; mise en facteur de l
k ; série exponentielle ; règles de
calculs sur les puissances.
• Exemple de convergence en loi
Soit X n → B
n,
l
n
, n ∈ N
∗ , l > 0. Alors, pour k fixé dans N :
lim
n→+∞
P (X n = k) = e
−l l
k
k!
En effet, on a
P (X n = k) =
n
k
l
n
k
1 −
l
n
n−k
=
n!
k! (n − k)!
l
k
n k
1 −
l
n
n−k
Or, d’une part :
n!
k! (n − k)!
=
n (n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
∼
n→+∞
n
k
k!
Et d’autre part :
1 −
l
n
n−k
= e
(n−k) ln(1−
l
n ) − −−− →
n→+∞
e
−l
car l’exposant est équivalent à n ×
−
l
n
, sa limite est donc −l.
Et on a la conclusion.
On dit que la suite (X n ) converge en loi vers une v.a X de loi P (l).
(Voir § 9.3.3.)
Pratiquement, cela veut dire que pour les grandes valeurs de n,
P (X = k) est une bonne approximation de P (X n = k).
215