Partie 3 – Probabilités
• Pour le calcul de l’espérance, on a, sous réserve de convergence (absolue) :
E (X) =
+∞
n=0
nP (X = n) =
+∞
n=1
ne
−l l
n
n!
= e
−l
+∞
n=1
l
l
n−1
(n − 1)!
= e
−l l
+∞
k=0
l
k
k!
= e
−l le
l
= l
Chaque étape du calcul est importante à comprendre : définition ; la
somme démarre vraiment avec n = 1 ; simplification par n ; mise en
facteur de l et changement d’indice k = n − 1 ; on reconnaît la série
exponentielle et les calculs précédents sont justifiés.
• Pour le calcul de V (X), on commence par procéder comme pour la
loi géométrique :
V (X) = E (X (X − 1)) + E (X) − [E (X)]
2
On utilise le théorème de transfert pour calculer E (X (X − 1)) ; la
somme démarre valablement à n = 2 ; simplification par n (n − 1) ;
changement d’indice k = n − 2.
• Établissons le résultat sur la stabilité : si X → P (l), Y → P (m), X et
Y indépendantes, alors Z = X + Y → P (l + m) . Z prend ses valeurs
dans N, et, pour tout n ∈ N :
(Z = n) =
n
k=0
((X = k) ∩ (Y = n − k))
Par additivité, puis indépendance, il vient
P (Z = n) =
n
k=0
P (x = k) P (Y = n − k) =
n
k=0
e
−l l
k
k!
e
−m m
n−k
(n − k)!
P (Z = n) = e
−(l+m) 1
n!
n
k=0
n!
l
k
k!
m
n−k
(n − k)!
= e
−(l+m) 1
n!
(l + m)
n
d’après la formule du binôme. Et on a la conclusion.
• On généralise par récurrence la stabilité de la loi de Poisson à n v.a
X k indépendantes et suivant les lois P (l k ) : c’est acquis pour n = 2, et
supposant que c’est acquis pour n, alors c’est acquis pour n+1, car
n
k=1
X k
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