Partie 3 – Probabilités
La série obtenue est convergente (série géométrique dérivée seconde de
raison q ∈ ]0 ; 1[ ), de somme
2
(1−q) 3 =
2
p 3 . Il ne reste plus qu’à achever
les calculs.
• Pour une simulation informatique d’une v.a suivant une loi géométrique, voir § 10.2.3.
• Variantes de la loi géométrique. On considère toujours une succession d’épreuves identiques et indépendantes, la probabilité du succès
à chaque épreuve étant p. Les lois des v.a suivantes ne sont pas au programme, mais elles inspirent de nombreux exercices.
– Nombre d’échecs avant le premier succès. Soit X ce nombre.
On a X (V) = N, et, pour tout n ∈ N,
(X = n) = E 1 ∩ · · · ∩ E n ∩ S n+1 ,
donc, par indépendance : ∀n ∈ N, P (X = n) = q
n p.
Il s’agit d’une loi de probabilité car pour tout n, q
n p 0, et
+∞
n=0
q
n p = p
1
1 − q
= 1.
Pour le calcul de l’espérance et de la variance, on peut procéder directement, on peut aussi remarquer que la va Y = X + 1 suit la loi géométrique de paramètre p : Y (V) = N ∗ , et, pour tout n dans N ∗ :
P (Y = n) = P (X = n − 1) = q
n−1 p. On utilise alors les formules :
E (aX + b) = aE (X) + b, V (aX + b) = a
2 V (X) pour trouver :
E (X) =
q
p
; V(X) =
q
p 2
Mentionnons qu’il s’agit d’une loi sans mémoire :
∀n, m ∈ N , P (X≥n) (X ≥ n + m) = P (X ≥ m) .
– Temps d’attente du r-ème succès (r ∈ N ∗ ). Soit X ce nombre.
X est à valeurs dans l’ensemble {r ; r + 1 ; · · · }, et pour tout n r,
(X = n) est l’intersection des deux événements « r − 1 succès au cours
des n − 1 premières épreuves », et « succès à la n-ème épreuve ». Par
indépendance des épreuves, on a donc :
P (X = n) =
n − 1
r − 1
q
n−1−(r−1) p
r
× p =
n − 1
r − 1
q
n−r p
r
– Loi géométrique tronquée. X est le numéro de l’épreuve qui
apporte le premier succès, mais le nombre d’épreuves est limité à n, n
fixé. Si aucune épreuve n’apporte le succès, on convient que X = 0.
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La série obtenue est convergente (série géométrique dérivée seconde de
raison q ∈ ]0 ; 1[ ), de somme
2
(1−q) 3 =
2
p 3 . Il ne reste plus qu’à achever
les calculs.
• Pour une simulation informatique d’une v.a suivant une loi géométrique, voir § 10.2.3.
• Variantes de la loi géométrique. On considère toujours une succession d’épreuves identiques et indépendantes, la probabilité du succès
à chaque épreuve étant p. Les lois des v.a suivantes ne sont pas au programme, mais elles inspirent de nombreux exercices.
– Nombre d’échecs avant le premier succès. Soit X ce nombre.
On a X (V) = N, et, pour tout n ∈ N,
(X = n) = E 1 ∩ · · · ∩ E n ∩ S n+1 ,
donc, par indépendance : ∀n ∈ N, P (X = n) = q
n p.
Il s’agit d’une loi de probabilité car pour tout n, q
n p 0, et
+∞
n=0
q
n p = p
1
1 − q
= 1.
Pour le calcul de l’espérance et de la variance, on peut procéder directement, on peut aussi remarquer que la va Y = X + 1 suit la loi géométrique de paramètre p : Y (V) = N ∗ , et, pour tout n dans N ∗ :
P (Y = n) = P (X = n − 1) = q
n−1 p. On utilise alors les formules :
E (aX + b) = aE (X) + b, V (aX + b) = a
2 V (X) pour trouver :
E (X) =
q
p
; V(X) =
q
p 2
Mentionnons qu’il s’agit d’une loi sans mémoire :
∀n, m ∈ N , P (X≥n) (X ≥ n + m) = P (X ≥ m) .
– Temps d’attente du r-ème succès (r ∈ N ∗ ). Soit X ce nombre.
X est à valeurs dans l’ensemble {r ; r + 1 ; · · · }, et pour tout n r,
(X = n) est l’intersection des deux événements « r − 1 succès au cours
des n − 1 premières épreuves », et « succès à la n-ème épreuve ». Par
indépendance des épreuves, on a donc :
P (X = n) =
n − 1
r − 1
q
n−1−(r−1) p
r
× p =
n − 1
r − 1
q
n−r p
r
– Loi géométrique tronquée. X est le numéro de l’épreuve qui
apporte le premier succès, mais le nombre d’épreuves est limité à n, n
fixé. Si aucune épreuve n’apporte le succès, on convient que X = 0.
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