Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
• Vérifions qu’il s’agit d’une loi de probabilité. Avec q = 1 − p :
− ∀n ∈ N ∗ , P (X = n) = q
n−1 p 0 ;
−
+∞
n=1
P (X = n) =
+∞
n=1
q
n−1 p = p
+∞
n=0
q
n
= p
1
1 − q
= 1
car q ∈ ]0 ; 1[, la série géométrique
n∈N ∗
q
n est donc convergente, de
somme
1
1 − q
. Voir § 2.4.2.
• La vérification faite que la loi géométrique est bien une loi de probabilité est tout à fait essentielle. Elle montre que dans une suite d’épreuves
identiques et indépendantes, on est quasi-certain d’obtenir le succès.
• Les calculs de l’espérance et de la variance de X suivant la loi G (p)
doivent être parfaitement maîtrisés. Il font appel aux calculs sur les séries
géométriques et séries géométriques dérivées (§ 2.4.2). En voici les
grandes lignes. On note q = 1 − p.
– Pour E (X) : sous réserve de convergence (absolue) de la série :
E (X) =
+∞
n=1
nP (X = n) =
+∞
n=1
nq
n−1 p = p
+∞
n=1
nq
n−1
Or la série de terme général nq
n−1 est convergente (série géométrique
dérivée de raison q ∈ ]0 ; 1[), et a pour somme
+∞
n=1
nq
n−1
=
1
(1 − q)
2 =
1
p 2
D’où la conclusion. Ce résultat est facile à retenir, il signifie par exemple
que quand on lance un dé cubique équilibré, le « 6 » (probabilité d’apparition égale à
1
6 ) apparaît en moyenne tous les 6 lancers.
– Pour la variance, on commence par écrire (sous réserve de convergence
absolue des séries rencontrées) :
V (X) = E
X
2
− [E (X)]
2
= E (X (X − 1) + X) − [E (X)]
2
= E (X (X − 1)) + E (X) − [E (X)]
2 (linéarité de l’éspérance)
On utilise le théorème de transfert, toujours sous réserve de convergence
(absolue) :
E (X (X − 1)) =
+∞
n=1
n (n − 1) q
n−1 p = pq
+∞
n=2
n (n − 1) q
n−2
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