Partie 3 – Probabilités
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Les réciproques sont fausses. La covariance de deux vad non indépendantes peut être égale à 0. On peut juste dire que si la covariance de
(X, Y ) est différente de 0, alors X, Y ne sont pas indépendantes.
Coefficient de corrélation linéaire
Définition. Soit X, Y des vad admettant des variances, et non quasicertaines. Le coefficient de corrélation linéaire est le nombre réel r X,Y
défini par
r X,Y =
Cov (X, Y )
s (X) s (Y )
Propriétés
• |r X,Y | 1 ; si |r X,Y | = 1, alors il existe a, b réels tels que l’événement
Y = aX + b est quasi-certain, et a est du signe de r.
• Si X, Y sont indépendantes, alors r X,Y = 0. La réciproque est fausse.
4. Variables infinies discrètes usuelles
4.1 Loi géométrique
Définition. Soit p ∈ ]0 ; 1[ . On dit que X suit la loi géométrique
de paramètre p, et on note X → G (p), ssi :
X (V) = N
∗ ; ∀n ∈ N
∗ , P (X = n) = (1 − p)
n−1 p
Modèle. On répète une épreuve indéfiniment. À chaque épreuve,
la probabilité du succès est p fixé dans ]0 ; 1[. Les résultats des
épreuves successives sont indépendants.
Soit X le temps d’attente du premier succès, c’est-à-dire le numéro
de l’épreuve qui amène le premier succès. Alors
X → G (p)
Espérance, variance. Soit X → G (p). Alors
E (X) =
1
p
; V(X) =
1 − p
p 2
• On retrouve facilement la loi géométrique à partir de son modèle.
En notant E i et S i l’échec et le succès à l’épreuve n ◦ i, on a, pour tout
n ∈ N ∗ :
(X = n) = E 1 ∩ · · · ∩ E n−1 ∩ S n
d’où le résultat, par indépendance des résultats successifs.
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