Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
En particulier,
E (XY ) =
xi∈X(V),yj∈Y (V)
x i y j P
X = x i , Y = y j
sous réserve d’existence, c’est-à-dire sous réserve de convergence absolue de la série. Si X et Y admettent des variances, alors cette convergence
est acquise (admis).
3.2 Covariance
Pour déterminer la variance de X + Y , on fait les mêmes calculs que dans
le cas fini, mais sous réserve d’existence. On admet que ces calculs sont
possibles si X et Y admettent des variances.
Définition. Soit X, Y deux vaid admettant des variances. La covariance
de (X, Y ) est le nombre réel
Cov (X, Y ) = E (XY ) − E (X) E (Y )
avec E (XY ) =
xi∈X(V),yj∈Y (V)
x i y j P
X = x i , Y = y j
Propriétés. Ce sont les mêmes que dans le cas fini, sous réserve d’existence. Pour mémoire :
• Si X, Y sont deux vaid admettant des variances, alors X + Y admet une
variance, et
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov (X, Y )
• Cov (X, Y ) est de signe de quelconque.
• On a aussi Cov (X, Y ) = E ([X − E (X)] [Y − E (Y )]).
• Si X, Y, Z admettent des variances et si a est un nombre réel, on a :
− Cov (X, X) = V (X) ;
− Cov (X, Y ) = Cov (Y, X) ;
− Cov (X + Y, Z) = Cov (X, Z) + Cov (Y, Z) ;
− Cov (aX, Y ) = Cov (X, aY ) = aCov (X, Y ).
• La formule V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov (X, Y ) permet le calcul
de Cov (X, Y ), si les variances de X, Y et X + Y sont connues.
• Soient X, Y deux vaid admettant des variances, et indépendantes. On
a alors les propriétés suivantes, équivalentes entre elles :
E (XY ) = E (X) E (Y )
Cov (X, Y ) = 0
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