Partie 3 – Probabilités
• Généralisation à n v.a infinies discrètes
Si les X i admettent des variances, alors la somme
n
i=1
X i admet une
variance, et :
− si les X i sont deux à deux indépendantes, alors
V
n
i=1
X i
=
n
i=1
V (X i )
− dans le cas général
V
n
i=1
X i
=
n
i=1
V (X i ) + 2
1i Cov
X i , Y j
3. Couple de variables aléatoires discrètes
3.1 Définitions
Soit X, Y deux variables aléatoires discrètes. Les définitions sont les
mêmes que dans le cas fini, voir § 7. 3. 1. Pour mémoire :
• Déterminer la loi du couple (X, Y ), c’est déterminer, pour chaque
x i ∈ X (V) et chaque y j ∈ Y (V) la probabilité
P
(X = x i ) ∩
y = y j
• La loi du couple (X, Y ) permet de trouver les lois marginales (les lois
de X et de Y ), en utilisant la formule de probabilités totales.
• Pour y j fixé, la loi conditionnelle de la variable X sachant
Y = y j
est donnée par
P (Y=yj) (X = x i ) =
P
(X = x i ) ∩
Y = y j
P
Y = y j
et de même pour la loi de la variable Y sachant (X = x i ) .
Théorème de transfert
Soit X, Y deux vaid, w une fonction de deux variables. Sous réserve
d’existence :
E (w (X, Y )) =
(xi,yj)∈X(V)×Y(V)
w
x i , y j
P
(X = x i ) ∩
Y = y j
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