Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
Démonstration. Montrons que si X admet un moment d’ordre 2, alors
X admet une espérance ; on a
|x i | + 1
2 P (X = x i ) 0, donc, en développant le carré :
0 |x i |P (X = x i )
1
2
x i
2 + 1
P (X = x i ) .
La série de terme général
x
2
i + 1
P (X = x i ) est convergente comme
somme de deux séries convergentes, donc la série de terme général
x i P (X = x i ) est absolument convergente, donc X admet une espérance.
Le calcul suivant :
(X − [E (X)])
2
= X
2
− 2X E (X) + [E (X)]
2
montre alors, en utilisant la linéarité de l’espérance, que X admet une
variance ssi X admet un moment d’ordre 2, et prouve l’égalité à établir.
• Une v.a admettant une espérance peut ne pas admettre de moment
d’ordre 2, et donc pas de variance.
Soit X telle que
∀n ∈ N
∗ , P (X = n) =
a
n 3 , avec a =
+∞
n=1
1
n 3
X admet une espérance, car nP (X = n) =
a
n 2 , et la série de Riemann
1
n 2 est convergente ; mais X n’admet pas de moment d’ordre 2, car
n
2 P (X = n) =
a
n , et la série de Riemann
1
n est divergente. X n’admet donc pas de variance.
Variance d’une somme de 2 v.a infinies discrètes
Soit X et Y deux v.a infinies discrètes admettant des variances. Alors
X + Y admet une variance, et XY admet une espérance. De plus :
− si X et Y sont indépendantes, alors
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
− dans le cas général :
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov (X, Y ) ,
avec
Cov (X, Y ) = E (XY ) − E (X) E (Y ) ,
avec
E (XY ) =
xi∈X(V),yj∈Y (V)
x i y j P
X = x i , Y = y j
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