Partie 3 – Probabilités
de probabilité). Mais cette v.a n’admet pas d’espérance. En effet la série
de terme général nP (X = n) est divergente, car
nP (X = n) =
6
p 2 n
et la série de terme général
1
n , n ∈ N ∗ , est une série de Riemann divergente. Par conséquent, X n’admet pas d’espérance.
Variance, écart-type
Définitions
• Soit X une v.a infinie discrète admettant une espérance E (X). Sous
réserve de convergence de la série, la variance de X est définie par :
V (X) =
xi∈X(V)
[x i − E (X)]
2 P (X = x i )
D’après le théorème de transfert, on a alors
V (X) = E
[X − E (X)]
2
• Pour une v.a X admettant une variance, l’écart-type s (X) est la
racine carrée de la variance :
s (X) =
V (X)
Propriétés
• Pour toute v.a X admettant une variance, V (X) 0. Si V (X) = 0,
alors X est une v.a quasi-certaine : X (V) = {c} ; P (X = c) = 1.
• Si X admet une variance, et a, b ∈ R, alors aX + b admet une
variance, et
V (aX + b) = a
2 V (X)
Démonstration. Soit Y = aX + b. Y admet une espérance, et
Y − E (Y ) = a (X − E (X))
X admet une variance V (X) = E
(X − E (X))
2
, ce qui donne le résultat.
Théorème de Koenig-Huygens
Soit X une v.a infinie discrète. X admet une variance ssi X admet
un moment d’ordre 2, E
X
2
, et on a alors :
V (X) =
xi∈X(V)
x i
2 P (X = x i ) − [E (X)]
2
= E
X
2
− [E (X)]
2
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