Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
Un cas particulier d’utilisation fréquente :
Si X (V) = N , E (X) =
+∞
k=0
kP (X = k) ;
sous réserve de convergence absolue, c’est-à-dire ici de convergence, car
la série est à termes positifs.
Propriétés
Linéarité de l’espérance
Si X et Y admettent des espérances, alors il en est de même pour
X + Y et aX + b (a, b ∈ R), et
E (X + Y ) = E (X) + E (Y ) ;
E (aX + b) = aE (X) + b.
L’espérance est donc une forme linéaire sur l’espace vectoriel des vad
définies sur V et admettant une espérance.
Théorème de transfert
Soit X une vaid, w une application définie sur X (V). Alors w (X) est
une vaid, et, sous réserve de la convergence absolue de la série de
terme général w (x i ) P (X = x i ) , i ∈ X (V) :
E (w (X)) =
xi∈X(V)
w (x i ) P (X = x i )
En particulier, pour r ∈ N ∗ , et toujours sous réserve de convergence
absolue :
E (X
r ) =
xi∈X(V)
x i
r P (X = x i )
m r (X) = E (X r ) est appelé moment d’ordre r de X.
• Attention, certaines v.a infinies discrètes n’ont pas d’espérance.
Soit X une v.a dont la loi de probabilité est donnée par :
X (V) = N
∗ ; ∀n ∈ N
∗ , P (X = n) =
6
p 2 n 2
On sait que la série de terme général
1
n 2 , n ∈ N ∗ , est convergente (série
de Riemann), et, étant admis que
+∞
n=0
1
n 2 =
p
2
6 , on établit sans peine
que X est bien une variable aléatoire (ou que l’on a bien défini une loi
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