Partie 3 – Probabilités
• Avec F X la f. r de la v.a X, pour tout a, b appartenant à R tels que
a b :
P (a < X b) = F X (b) − F X (a)
• En particulier, si X est à valeurs dans N, ou dans Z, on a :
P (X = k) = F X (k) − F X (k − 1)
• Soit F X la f.r d’une v.a X. La v.a X est infinie discrète (resp. finie)
ssi F X est une fonction en escalier (c’est-à-dire constante par intervalles),
telle que l’ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable (resp.
fini). Cet ensemble est alors égal à X (V).
Indépendance de variables aléatoires discrètes
Définitions.
• Deux vad X, Y définies sur V sont dites indépendantes ssi :
∀x ∈ X (V) , ∀y ∈ Y (V) ,
P ((X = x) ∩ (Y = y)) = P (X = x) P (Y = y)
• Les vad X 1 , X 2 , · · · , X n sont dites mutuellement indépendantes (ou
indépendantes) ssi :
∀x 1 ∈ X 1 (V) , ∀x 2 ∈ X 2 (V) , · · · , ∀x n ∈ X n (V) ,
P
n
i=1
(X i = x i )
=
n
i=1
P (X i = x i )
• La suite (X n ) n∈N ∗ est une suite de v.a indépendantes ssi, pour tout
n ∈ N ∗ , les v.a X 1 , X 2 , · · · , X n sont indépendantes.
Propriété
• Si (X n ) n∈N ∗ est une suite de v.a indépendantes, alors toute fonction de
X 1 , X 2 , · · · , X n est indépendante de toute fonction de X n+1 , · · · , X n+p .
En particulier, si X et Y sont indépendantes, alors toute fonction de X
est indépendante de toute fonction de Y .
2.4 Espérance (ou moyenne)
Définition. Soit X une variable aléatoire infinie discrète définie sur V.
On dit que X admet une espérance E (X) ssi la série de terme général
x i P (X = x i ) , x i ∈ X (V), est absolument convergente, et on pose alors :
E (X) =
xi∈X(V)
x i P (X = x i )
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