Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
où I est l’ensemble N, l’ensemble Z, ou un sous-ensemble infini de N
ou Z.
• Une variable aléatoire discrète (vad) est une variable aléatoire finie
ou infinie discrète.
Loi de probabilité
• Déterminer la loi de probabilité de la v.a infinie discrète X, c’est déterminer X (V), et, pour chaque x i ∈ X (V), déterminer la probabilité
P (X = x i ).
• Réciproquement, pour vérifier que les couples (x i , p i ) i∈I définissent la
loi de probabilité d’une vaid X, avec P (X = x i ) = p i , il suffit de vérifier :
− ∀i ∈ I, p i 0 ;
− la série de terme général p i , i ∈ I, est convergente, de somme 1.
On dira aussi que X est bien une variable aléatoire.
2.2 Propriétés
Ce sont les mêmes que dans le cas fini :
La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas)
de deux vad définies sur le même ensemble V est une v.a définie sur V.
Si w est une fonction à valeurs dans R définie sur X (V), la composée
w ◦ X est une v.a définie sur V.
L’ensemble des v.a définies sur V constitue un espace vectoriel pour les
opérations X + Y, aX.
2.3 Fonction de répartition
Définition. Soit X une v.a sur V. La fonction de répartition de la
v.a X est l’application F X de R dans R définie par :
∀x ∈ R , F X (x) = P (X x)
Propriétés.
• Soit F X la f.r d’une v.a X. Alors
− F X est croissante sur R.
− F X est continue à droite en tout point de R.
− lim
x→−∞
F X (x) = 0 ; lim
x→+∞
F X (x) = 1
• Réciproquement, toute application de R dans R vérifiant ces trois
propriétés est la fonction de répartition d’une v.a X.
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