Partie 3 – Probabilités
• La formule des probabilités totales se généralise avec des systèmes
(A i ) i∈I (quasi-)complets d’événements, c’est-à-dire vérifiant:
Pour tout i, P (A i ) = 0 ; si i = j, A i ∩ A j = ∅ ; P
i∈I
A i
= 1, avec I
fini ou dénombrable.
On a, avec (A i ) i∈I système (quasi-) complet d’événements, pour tout
événement B :
P (B) =
i∈I
P (B ∩ A i ) =
i∈I
P Ai (B) P (A i )
Quand V (ensemble des résultats élémentaires de l’expérience aléatoire) est infini, on ne peut pas définir sans contradiction la probabilité P (A) pour tout élément A de P (V). Il faut se restreindre à
un sous-ensemble T de P (V) convenablement structuré. Dans la
pratique, cela ne pose pas de difficultés.
La propriété de s–additivité demandée à la probabilité étend la propriété d’additivité à des réunions infinies. Elle comporte la somme
d’une série. La convergence de cette série n’a pas à être établie :
en effet les sommes partielles
n
k=0
P (A k ) forment une suite croissante
(car P (A k ) 0 pour tout k), et majorée, car
n
k=0
P (A k ) = P
n
k=0
A k
P (V) = 1
2. Variables aléatoires infinies discrètes
2.1 Définitions
Soit (V, T , P) un espace probabilisé.
Variable aléatoire
• Une variable aléatoire (v.a) définie sur V est une application X de V
dans R telle que, pour tout x ∈ R, l’ensemble
(X x) = {v ; v ∈ V, X (v) x}
appartienne à T .
• Une variable aléatoire infinie discrète (vaid) définie sur V est une
v.a définie sur V telle que l’on ait :
X (V) = {x i ; i ∈ I} ,
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