Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
Par conséquent, par la deuxième propriété de limite monotone :
P (A) = 0
• La probabilité p de « casser » un mot de passe de 6 caractères (quand
on procède au hasard) est p = 1/36
6 , soit p ≈ 4, 6 × 10 −10 . On fait des
essais, soit B l’événement « le mot de passe est trouvé ».
B est la réunion des événements B n : « le mot de passe est trouvé en au
plus n essais », n ∈ N ∗ .
∀n ∈ N
∗ , B n ⊂ B n+1 .
La probabilité de B n est de 1−(1 − p)
n : en effet, l’événement contraitre
de B n est : « en n essais, le mot de passe n’a pas été trouvé ».
On conclut alors, en utilisant la première propriété de limite monotone,
que P (B) = 1.
On peut obtenir ces résultats dans le cadre de la loi géométrique, voir
§ 8.4.1.
• Soit (X n ) n∈N une suite quelconque d’événements. En appliquant
la première propriété de limite monotone à la suite (A n ) définie par
A n =
n
k=0
X k , on obtient
P
+∞
n=0
X n
= lim
n→+∞
P
n
k=0
X k
Et on a la formule analogue pour l’intersection.
• Un événement de probabilité 1 est dit quasi-certain. Un événement
de probabilité 0 est dit quasi-impossible.
• On peut parler d’une suite (infinie) d’événements indépendants : une
suite d’événements est indépendante ssi toute sous-suite finie extraite
l’est. Les exemples fondamentaux : les résultats successifs d’une pièce de
monnaie, d’un dé. . . ; les résultats successifs de tirages AVEC REMISE
d’une boule dans une urne.
• La probabilité conditionnelle sachant B, avec P(B) = 0, a même définition que dans le cas où V est fini :
P B (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
et même utilisation, la formule des probabilités composées :
P (A ∩ B) = P B (A) P (B) ;
P (A 1 ∩ · · · ∩ A n ) = P (A 1 ) P A1 (A 2 ) · · · P A1∩···∩An−1 (A n )
199