Partie 3 – Probabilités
• P (V) = 1 ;
• si les A n sont deux à deux incompatibles, alors :
P
n∈N
A n
=
n∈N
P (A n ) (propriété de s − additivité)
Le triplet (V, T , P) est alors un espace probabilisé.
Propriétés
• On retrouve les mêmes propriétés que pour les espaces probabilisés
finis, voir § 7.2.2. Pour mémoire :
− P (∅) = 0 ;
− P
A
= 1 − P (A) ;
− (additivité) si les A i sont deux à deux incompatibles, alors
P
n
i=1
A i
=
n
i=1
P (A i )
− (croissance) si A ⊂ B, alors
P (A) P (B) et P
B\A
= P (B) − P (A)
− formule du crible.
• On a de plus les propriétés suivantes, dites propriétés de limite
monotone :
− si A 0 ⊂ A 1 ⊂ · · · ⊂ A n ⊂ · · · , alors
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P (A n )
− si A 0 ⊃ A 1 ⊃ · · · ⊃ A n ⊃ · · · , alors
P
+∞
n=0
A i
= lim
n→+∞
P (A n )
• On lance une pièce de monnaie équilibrée indéfiniment. Soit A
l’événement « on obtient indéfiniment “face” ». A est l’intersection
des événements A n : « les n premiers lancers donnent “face” », avec n
appartenant à N ∗ .
∀n ∈ N
∗ , A n ⊃ A n+1 .
Par indépendance des lancers, on a : P (A n ) =
1
2
n
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