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Variables aléatoires
discrètes
1. Espaces probabilisés quelconques
Certaines expériences aléatoires conduisent à un espace probabilisable
(ensemble des résultats de l’expérience) comprenant un nombre infini
d’éléments. Par exemple, l’expérience qui consiste à lancer une pièce
de monnaie jusqu’à l’obtention de deux « pile » consécutifs amène à un
espace probabilisable infini, puisqu’il doit contenir au moins les événements :
P 1 P 2 ; F 1 P 2 P 3 ; F 1 F 2 P 3 P 4 ; F 1 F 2 F 3 P 4 P 5 ; . . . .
(avec P i (resp. F i ), les événements « pile (resp. face) au lancer n ◦ i », et
en omettant les signes d’intersection.
Cette situation oblige à redéfinir les notions d’espace probabilisé et de
variable aléatoire.
1.1 Définitions
Tribu, espace probabilisable. Soit V un ensemble non vide quelconque. Une tribu sur V est un ensemble T de parties de V (c’est-à-dire
un sous-ensemble de P (V) ) tel que :
• V ∈ T ;
• si A ∈ T , alors A ∈ T ;
• si, pour tout n ∈ N , A n ∈ T , alors
n∈N
A n ∈ T .
Soit T une tribu sur V. (V, T ) est un espace probabilisable.
On convient d’appeler événement tout élément de T .
Probabilité. Soit (V, T ) un espace probabilisable. Une probabilité sur
V est une application P : T → [0, 1] , A → P (A) telle que :
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