Partie 3 – Probabilités
− X i X j est une variable de Bernoulli de paramètre
E
X i X j
= P
X i X j = 1
=
1 × 1 ×
N−2
n−2
N
n
=
n (n − 1)
N (N − 1)
− Tous les termes de la somme double sont égaux à
Cov
X i , X j
=
n (n − 1)
N (N − 1)
−
n
N
2 =
n (n − N)
N (N − 1)
et il y a
Np
2
tels termes. En effet, il a autant de couples (i, j) tels
que 1 i < j Np qu’il y a de parties {i, j} à deux éléments dans
un ensemble à Np éléments.
− Il ne reste plus qu’à achever les calculs, on trouve
V (X) = np (1 − p)
N − n
N − 1
• Pour la simulation informatique de X → H (N, n, p), voir § 10.2.3.
4.4 Loi uniforme sur 1, n
On dit que la v.a X suit la loi uniforme sur 1, n, et on note
X → U
1, n
, ssi
X (V) = 1, n ; ∀k ∈ 1, n, P (X = k) =
1
n
Espérance, variance
E (X) =
n + 1
2
; V(X) =
n
2
− 1
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• Pour le calcul de E (X), on utilise la formule
n
k=1 k =
n(n+1)
2 . Pour le
calcul de V (X), on utilise le théorème de Koenig-Huygens, puis, pour
le calcul de E
X
2
, la formule
n
k=1 k
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
.
• Avec a, b ∈ N, a < b, on dit que Y suit la loi uniforme sur a, b
ssi, pour tout k ∈ a, b, P (Y = k) =
1
n , avec n = b − a + 1, nombre
d’éléments de l’ensemble a, b. La v.a X = Y − a + 1 suit alors la loi
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