Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
• Appelons « individu-C » un individu présentant les caractère étudié. On trouve facilement la loi de X à partir de son modèle, par
des considérations de dénombrement : on est en situation d’équiprobabilité, et il s’agit d’un tirage simultané de n individus parmi N,
donc Card (V) =
N
n
; on constitue un échantillon réalisant l’événement (X = k) en choisissant. k individus-C parmi Np individus-C, puis
n − k individus-non-C parmi N (1 − p) individus-non-C, ce qui donne
Card ((X = k)).
• H (N, n, p) est une loi de probabilité, par conséquent
n
k=0
Np
k
N (1 − p)
n − k
=
N
n
ce qui démontre la formule de Vandermonde, voir l’Introduction § 4.3.
• X est la somme de Np variables de Bernoulli X i , non indépendantes,
avec X i = 1 ssi le i
me individu-C est présent dans l’échantillon, 0 sinon.
X i est une variable de Bernoulli de paramètre
P (X i = 1) =
1 ×
N−1
n−1
N
n
=
n
N
En effet, une fois choisi le i
me individu-C, on complète l’échantillon en
choisissant n − 1 individus parmi N − 1. On a donc
X =
Np
i=1
X i avec X i → B
n
N
;
E (X i ) =
n
N
; V(X i ) =
n
N
n
N
− 1
• Ceci permet le calcul de E (X), en utilisant la linéarité de l’espérance.
On trouve
E (X) = Np
n
N
= np
• Pour le calcul de V (X), on utilise la formule du § 7.2.5 :
V (X) = V
Np
i=1
X i
=
Np
i=1
V (X i ) + 2
1i Cov
X i , Y j
avec Cov
X i , X j
= E
X i X j
− E (X i ) E
X j
. Tout est connu, hormis
E
X i X j
et le nombre de termes dans la somme double.
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