Partie 3 – Probabilités
Par additivité de la probabilité, puis indépendance de X, Y , on a
P (Z = k) =
n
i=0
P (X = i) P (Y = k − i)
=
n
i=0
n
i
m
k − i
p
k q
n+m−k
d’où le résultat, par la formule de Vandermonde (§ 4.3 de l’Introduction
et § 7.4.3).
• La stabilité de la loi binomiale se généralise : si les (X i ) 1im sont
indépendantes et telles que X i → B (n i , p) , alors
Y m =
m
i=1
X i → B
m
i=1
n i , p
Démonstration par récurrence.
Simulation de X → B (n, p).
ÙÒÒØØÓÒ ÒÓÑ´ÒÒÒÒØØØØÖÖÔÔÖÖÖеµÖÖÖÐ
ÚÚÖ ¸¸¸¸ÒØØØØÖÖ
Ò
¼¼ { va compter le nombre de succès à l’épreuve ÖÖÒÒÓÑÑÔ }
ÓÖ ½ ØÓ Ò Ó ÖÖÒÒÓÑÑÔ ØØØÒ ·½½
ÒÓÑÑÑÑÑ
ÒÒÒ
4.3 Loi hypergéométrique
Soit n, N ∈ N ∗ et p ∈ ]0 ; 1[ tels que Np ∈ N ∗ . On dit que la v.a
X suit la loi hypergéométrique de paramètres N, n, p, et on note
X → H (N, n, p), ssi
X (V) ⊂ 0, n ; ∀k ∈ 0, n, P (X = k) =
Np
k
N(1−p)
n−k
N
n
avec la convention
n
k
= 0 si k < 0 ou k > n.
Modèle. On prélève au hasard un échantillon de n individus dans
une population de taille N. Parmi ces N individus, une proportion
p présente le caractère étudié C. X est le nombre d’individus de
l’échantillon présentant le caractère étudié.
Espérance
E (X) = np
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